Упр.771 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 771. Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию, площадь которой равна 21 см^2. Найдите площадь данного треугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$EBF$$. Так как $$EF$$ — средняя линия треугольника, то $$EF \parallel AC$$ и $$EF=\frac{1}{2}AC$$.

Тогда $$\angle CAB=\angle FEB$$, а $$\angle B$$ — общий, значит, $$\triangle ABC \sim \triangle EBF$$ по двум углам.

Коэффициент подобия равен

$$k=\frac{EF}{AC}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$S_{EBF}=k^2\cdot S_{ABC}=\frac{1}{4}S_{ABC}.$$

Площадь трапеции $$AEFC$$ равна разности площадей треугольников:

$$S_{ABC}=S_{AEFC}+S_{EBF}.$$

Подставим данные:

$$S_{ABC}=21+\frac{1}{4}S_{ABC}.$$

Тогда