Упр.768 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Точка $$A(-7; 10)$$ — образ точки $$B(-1; -2)$$ при гомотетии с коэффициентом $$-2$$. Найдите центр гомотетии.

Пусть центр гомотетии — точка $$M(x;y)$$. Тогда точки $$A(-7;10)$$, $$M$$ и $$B(-1;-2)$$ лежат на одной прямой, а для коэффициента гомотетии $$k=-2$$ выполняется

$$\frac{MA}{MB}=2,$$

причём точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от центра $$M$$.

Запишем это по координатам:

$$\frac{x+7}{-1-x}=-2,\qquad \frac{y-10}{-2-y}=-2.$$

Решим полученные уравнения:

$$x+7=-2(-1-x),$$

$$x+7=2+2x,$$

$$x=5.$$

Аналогично:

$$y-10=-2(-2-y),$$

$$y-10=4+2y,$$

$$y=-14.$$

Следовательно, центр гомотетии имеет координаты $$M(5;-14)$$.

Ответ

$$M(5;-14)$$