Упр.766 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 766. Окружность с центром О касается прямой а. Докажите, что образ этой окружности при гомотетии с центром А, где А — произвольная точка прямой а (рис. 241), касается этой прямой.

Подробный ответ

Пусть окружность с центром $$O$$ касается прямой $$a$$ в точке $$H$$. Тогда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $$OH \perp a$$.

При гомотетии с центром $$A$$ окружность переходит в окружность с центром $$O’$$, а точка касания $$H$$ переходит в точку $$H’$$. Так как гомотетия сохраняет параллельность, то прямая $$OH$$ переходит в прямую $$O’H’$$, причём $$O’H’ \parallel OH$$.

Следовательно, $$O’H’ \perp a$$, потому что $$OH \perp a$$ и $$O’H’ \parallel OH$$. Кроме того, точки $$H$$ и $$A$$ лежат на прямой $$a$$, значит, и образ точки $$H’$$ также лежит на прямой $$a$$.

Итак, радиус $$O’H’$$ перпендикулярен прямой $$a$$ в точке $$H’$$, значит, окружность с центром $$O’$$ касается прямой $$a$$.