Упр.765 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 765. Окружности с центрами O1 и O2 соответственно с радиусами R и r касаются внутренним образом в точке О (рис. 240). Докажите, что окружность с центром O1 является образом окружности с центром O2 при гомотетии с центром О и коэффициентом R/r.

Подробный ответ

Рассмотрим окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ и радиусами соответственно $$R$$ и $$r$$. Так как окружности касаются внутренним образом в точке $$O$$, то точки $$O_1$$, $$O_2$$ и $$O$$ лежат на одной прямой, причём $$O$$ находится между центрами.

Следовательно, при гомотетии с центром $$O$$ точка $$O_2$$ переходит в точку $$O_1$$, а коэффициент гомотетии равен

$$k=\frac{O_1O}{O_2O}=\frac{R}{r}.$$

При этой гомотетии окружность с центром $$O_2$$ и радиусом $$r$$ переходит в окружность с центром $$O_1$$ и радиусом $$R$$, так как расстояния от центра гомотетии до соответствующих точек увеличиваются в $$\frac{R}{r}$$ раз.

Значит, окружность с центром $$O_1$$ является образом окружности с центром $$O_2$$ при гомотетии с центром $$O$$ и коэффициентом $$\frac{R}{r}$$.