Упр.764 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ соответственно с радиусами $$R$$ и $$r$$ касаются внешним образом в точке $$O$$ (рис. 239). Докажите, что окружность с центром $$O_1$$ является образом окружности с центром $$P_2$$ при гомотетии с центром $$O$$ и коэффициентом $$-\frac{R}{r}$$.

Рассмотрим окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ и радиусами $$R$$ и $$r$$ соответственно. Так как окружности касаются внешним образом в точке $$O$$, то точки $$O_1, O, O_2$$ лежат на одной прямой, причём $$O$$ находится между центрами.

Имеем:

$$O_1O=R,\qquad O_2O=r.$$

При гомотетии с центром $$O$$ точка $$O_2$$ переходит в точку $$O_1$$, так как они лежат на одной прямой с центром гомотетии по разные стороны от него. Коэффициент гомотетии равен

$$k=-\frac{O_1O}{O_2O}=-\frac{R}{r}.$$

Следовательно, окружность с центром $$O_1$$ является образом окружности с центром $$O_2$$ при гомотетии с центром $$O$$ и коэффициентом $$-\frac{R}{r}$$.

Ответ

Окружность с центром $$O_1$$ получается из окружности с центром $$O_2$$ при гомотетии с центром $$O$$ и коэффициентом $$k=-\frac{R}{r}$$.