Упр.762 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 762. Параллельные прямые пересекают стороны угла А в точках М, N, В и Q (рис. 238). Известно, что АМ:МP=3:1. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой: 1) отрезок PQ является образом отрезка MN; 2) отрезок MN является образом отрезка PQ.

Так как прямые, на которых лежат отрезки $$MN$$ и $$PQ$$, параллельны, то соответствующие точки на сторонах угла $$A$$ связаны гомотетией с центром в точке $$A$$. При этом

$$\frac{AP}{AM}=\frac{4}{3},$$

поскольку $$AM:MP=3:1$$, значит

$$AP=AM+MP=3+1=4$$

в тех же единицах, то есть $$AP:AM=4:3$$.

Кроме того, существует гомотетия с центром в точке $$O$$ — точке пересечения прямых, соединяющих соответствующие точки параллельных отрезков. В этом случае коэффициент гомотетии отрицательный.

1) Если $$MN \to PQ$$, то

центр гомотетии — $$A$$, а коэффициент

$$k=\frac{PQ}{MN}=\frac{AP}{AM}=\frac{4}{3}.$$

Также возможен центр $$O$$, тогда

$$k=-\frac{PQ}{MN}=-\frac{AP}{AM}=-\frac{4}{3}.$$

2) Если $$PQ \to MN$$, то

центр гомотетии — $$A$$, а коэффициент

$$k=\frac{MN}{PQ}=\frac{AM}{AP}=\frac{3}{4}.$$

Также возможен центр $$O$$, тогда

$$k=-\frac{MN}{PQ}=-\frac{AM}{AP}=-\frac{3}{4}.$$

Ответ

1) $$A,\ k=\frac{4}{3}$$ или $$O,\ k=-\frac{4}{3}$$.

2) $$A,\ k=\frac{3}{4}$$ или $$O,\ k=-\frac{3}{4}$$.