Упр.761 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 761. Отрезок MN — средняя линия треугольника АВС (рис. 237). Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой: 1) отрезок АС является образом отрезка MN; 2) отрезок MN является образом отрезка АС.

Подробный ответ

Так как $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, то $$MN \parallel AC$$ и $$MN=\frac{1}{2}AC$$.

При гомотетии параллельные отрезки переходят друг в друга, а коэффициент равен отношению соответствующих длин.

1) $$MN \to AC$$. Тогда коэффициент гомотетии

$$k=\frac{AC}{MN}=2.$$

Центр гомотетии — точка $$B$$, так как при этой гомотетии точки $$M$$ и $$N$$ переходят в точки $$A$$ и $$C$$ соответственно.

Кроме того, возможна гомотетия с отрицательным коэффициентом, когда соответствующие точки лежат по разные стороны от центра. В этом случае центр — точка $$O$$, а

$$k=-\frac{AC}{MN}=-2.$$

2) $$AC \to MN$$. Тогда

$$k=\frac{MN}{AC}=\frac{1}{2}.$$

Центр гомотетии снова может быть точка $$B$$, и тогда $$k=\frac{1}{2}$$.

Также возможен центр $$O$$, при котором коэффициент отрицательный:

$$k=-\frac{MN}{AC}=-\frac{1}{2}.$$