Упр.760 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 760. Площадь треугольника равна S. Найдите площадь треугольника, вершины которого — середины средних линий данного треугольника.

Пусть дан треугольник $$ABC$$, его площадь равна $$S$$. Точки $$E, F, K$$ — середины его сторон, значит $$EF, FK, EK$$ — средние линии треугольника $$ABC$$.

Точки $$D, M, N$$ — середины средних линий $$EK, EF, FK$$ соответственно. Тогда в треугольнике $$EFK$$ отрезки $$DM, MN, DN$$ тоже являются средними линиями:

$$DN=\frac{1}{2}EF,\quad MD=\frac{1}{2}FK,\quad MN=\frac{1}{2}EK.$$

Так как $$EF, FK, EK$$ — средние линии треугольника $$ABC$$, то

$$EF=\frac{1}{2}AC,\quad FK=\frac{1}{2}AB,\quad EK=\frac{1}{2}BC.$$

Следовательно,

$$DN=\frac{1}{4}AC,\quad MD=\frac{1}{4}AB,\quad MN=\frac{1}{4}BC.$$

Значит, треугольники $$ABC$$ и $$DMN$$ подобны, а коэффициент подобия равен

$$k=\frac{DN}{AC}=\frac{MD}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{1}{4}.$$

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

$$S_{DMN}=k^2\cdot S=\left(\frac{1}{4}\right)^2S=\frac{1}{16}S.$$

Ответ

$$\frac{S}{16}$$