Упр.759 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 759. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь треугольника, который отсекает от данного его средняя линия?

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$EBF$$. Так как $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, то $$EF \parallel AC$$ и $$EF=\frac{1}{2}AC$$.

Тогда $$\angle CAB=\angle FEB$$, а $$\angle B$$ — общий, значит, $$\triangle ABC \sim \triangle EBF$$ по двум углам.

Коэффициент подобия равен

$$k=\frac{EF}{AC}=\frac{1}{2}.$$

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

$$\frac{S_{EBF}}{S_{ABC}}=k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$

Так как $$S_{ABC}=S$$, то

$$S_{EBF}=\frac{1}{4}S.$$

Ответ

$$\frac{S}{4}$$