Упр.754 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ медианы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$M$$. Точки $$K$$, $$F$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AM$$, $$BM$$ и $$CM$$ соответственно. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой треугольник $$ABC$$ является образом треугольника $$KFN$$.

Точка $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$, значит, она является центром тяжести. Поэтому на каждой медиане выполняется отношение

$$AM=2\cdot MK,\qquad BM=2\cdot MF,\qquad CM=2\cdot MN,$$

так как точки $$K,$$ $$F$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AM,$$ $$BM$$ и $$CM$$ соответственно.

Следовательно, при гомотетии с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=2$$ точки $$K,$$ $$F,$$ $$N$$ переходят соответственно в точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$:

$$K \mapsto A,\qquad F \mapsto B,\qquad N \mapsto C.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ является образом треугольника $$KFN$$ при гомотетии с центром $$M$$ и коэффициентом $$2$$.

Ответ

Центр гомотетии — точка $$M$$, коэффициент $$k=2$$.