Упр.754 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 754. В треугольнике АВС медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке М. Точки К, F и N — середины отрезков АМ, ВМ и СМ соответственно. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой треугольник АВС является образом треугольника KFN.

Подробный ответ

Точка $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$, значит, она является центром тяжести. Поэтому на каждой медиане выполняется отношение

$$AM=2\cdot MK,\qquad BM=2\cdot MF,\qquad CM=2\cdot MN,$$

так как точки $$K,$$ $$F$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AM,$$ $$BM$$ и $$CM$$ соответственно.

Следовательно, при гомотетии с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=2$$ точки $$K,$$ $$F,$$ $$N$$ переходят соответственно в точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$:

$$K \mapsto A,\qquad F \mapsto B,\qquad N \mapsto C.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ является образом треугольника $$KFN$$ при гомотетии с центром $$M$$ и коэффициентом $$2$$.