Упр.753 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 753. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М (см. рис. 236). Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой треугольник A1B1C1 является образом треугольника АВС.

Подробный ответ

Так как точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ — середины сторон треугольника $$ABC$$, то отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ являются медианами и пересекаются в точке $$M$$.

Точка $$M$$ — центр гомотетии, при которой вершины треугольника переходят в середины противоположных сторон:

$$A \to A_1,\quad B \to B_1,\quad C \to C_1.$$

Центр гомотетии лежит на прямых $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$, значит, это точка $$M$$.

Поскольку точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то

$$AM:MA_1 = BM:MB_1 = CM:MC_1 = 2:1.$$

Следовательно, при переходе от $$A$$ к $$A_1$$, от $$B$$ к $$B_1$$ и от $$C$$ к $$C_1$$ расстояния от центра $$M$$ уменьшаются вдвое, а точки переходят на противоположную сторону относительно центра. Поэтому коэффициент гомотетии отрицательный:

$$k=-\frac{1}{2}.$$