Упр.752 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Медианы треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$ (рис. 236). Найдите коэффициент гомотетии с центром:

в точке $$B$$, при которой точка $$B_1$$ является образом точки $$M$$;
в точке $$M$$, при которой точка $$A_1$$ является образом точки $$A$$;
в точке $$C$$, при которой точка $$M$$ является образом точки $$C_1$$.

Подробный ответ

Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.

1) При гомотетии с центром в точке $$B$$ точка $$M$$ переходит в точку $$B_1$$. Тогда точки $$B, M, B_1$$ лежат на одной прямой, причём

$$BM:MB_1=2:1.$$

Следовательно,

$$BB_1=BM+MB_1=BM+\frac{1}{2}BM=\frac{3}{2}BM,$$

а значит, коэффициент гомотетии

$$k=\frac{BB_1}{BM}=\frac{3}{2}.$$

2) При гомотетии с центром в точке $$M$$ точка $$A$$ переходит в точку $$A_1$$. Так как $$M$$ лежит между $$A$$ и $$A_1$$, коэффициент гомотетии отрицательный. Из отношения

$$AM:MA_1=2:1$$

получаем

$$MA_1=\frac{1}{2}AM,$$

поэтому

$$k=-\frac{MA_1}{MA}=-\frac{1}{2}.$$

3) При гомотетии с центром в точке $$C$$ точка $$C_1$$ переходит в точку $$M$$. На медиане $$CC_1$$ имеем

$$CM:MC_1=2:1.$$

Тогда

$$CC_1=CM+MC_1=\frac{3}{2}CM,$$

и коэффициент гомотетии равен

$$k=\frac{CM}{CC_1}=\frac{2}{3}.$$