Упр.747 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

На рисунке 233 изображены две параллельные прямые $$a$$ и $$b$$. Постройте центр гомотетии, при которой прямая $$b$$ является образом прямой $$a$$ с коэффициентом: 1) $$k=2$$; 2) $$k=\frac{1}{2}$$; 3) $$k=-\frac{1}{2}$$. Сколько решений имеет задача?

Подробный ответ

При гомотетии с центром $$O$$ любая прямая, не проходящая через $$O$$, переходит в параллельную ей прямую. Значит, центр гомотетии должен лежать на прямой, соединяющей соответствующие точки прямых $$a$$ и $$b$$, а сами прямые $$a$$ и $$b$$ должны быть параллельны.

Пусть $$E\in a$$ и $$F\in b$$ — соответствующие точки. Тогда точки $$O, E, F$$ лежат на одной прямой, и выполняется

$$\frac{OF}{OE}=|k|$$

Если $$k>0$$, то точки $$E$$ и $$F$$ лежат по одну сторону от центра $$O$$; если $$k<0$$ — по разные стороны.

1) При $$k=2$$ нужно построить точку $$O$$ на прямой $$EF$$ так, чтобы

$$OF=2\cdot OE.$$

Тогда $$E$$ лежит между $$O$$ и $$F$$, а прямая $$a$$ переходит в $$b$$.

2) При $$k=\frac12$$ нужно построить точку $$O$$ на прямой $$EF$$ так, чтобы

$$OF=\frac12\,OE,$$

то есть $$E$$ и $$F$$ снова лежат по одну сторону от $$O$$, но теперь образ прямой $$a$$ получается при уменьшении в 2 раза.

3) При $$k=-\frac12$$ точка $$O$$ должна лежать на прямой $$EF$$ между прямыми $$a$$ и $$b$$, а выполняется

$$OF=\frac12\,OE.$$

Здесь точки $$E$$ и $$F$$ лежат по разные стороны от центра гомотетии.

Так как на каждой прямой, соединяющей любую точку прямой $$a$$ с любой точкой прямой $$b$$, можно выбрать центр $$O$$, удовлетворяющий нужному отношению, таких центров бесконечно много.