Упр.746 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Начертите окружность, радиус которой равен $$2\ \text{см}$$. Отметьте точку О на расстоянии $$4\ \text{см}$$ от её центра. Постройте образ этой окружности при преобразовании подобия, которое является композицией двух преобразований: гомотетии с центром О и коэффициентом $$k=\frac{1}{2}$$ и поворота с центром О по часовой стрелке на угол $$45^\circ$$. Укажите коэффициент подобия.

Пусть данная окружность имеет центр $$A$$ и радиус $$2\text{ см}$$.

Сначала выполним гомотетию с центром $$O$$ и коэффициентом $$k=\frac{1}{2}$$. При этом центр окружности перейдёт в точку $$A_1$$, а радиус уменьшится в 2 раза:

$$r_1=2\cdot \frac{1}{2}=1\text{ см}.$$

Затем повернём полученную окружность вокруг точки $$O$$ по часовой стрелке на угол $$45^\circ$$. При повороте расстояния сохраняются, поэтому образ окружности снова будет окружностью того же радиуса $$1\text{ см}$$, а её центр перейдёт в точку $$A’$$.

Так как композиция гомотетии и поворота является преобразованием подобия, то коэффициент подобия равен коэффициенту гомотетии:

$$k=\frac{1}{2}.$$

Ответ

Образом является окружность радиуса $$1\text{ см}$$ с центром в точке $$A’$$. Коэффициент подобия $$\frac{1}{2}$$.