Упр.744 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 744. На рисунке 231 изображены прямоугольник ABCD и точки A1 и C1, являющиеся образами соответственно точек А и С при преобразовании подобия. Постройте образ прямоугольника ABCD при этом преобразовании. Сколько решений имеет задача?

Подробный ответ

При преобразовании подобия образ прямоугольника снова является прямоугольником. Пусть образом точек $$A,B,C,D$$ будут точки $$A_1,B_1,C_1,D_1$$ соответственно.

Так как точки $$A_1$$ и $$C_1$$ — образы точек $$A$$ и $$C$$, то диагональ прямоугольника переходит в диагональ подобного прямоугольника, а коэффициент подобия равен

$$k=\frac{A_1C_1}{AC}=\frac12.$$

Следовательно, все стороны искомого прямоугольника в $$2$$ раза меньше соответствующих сторон прямоугольника $$ABCD$$. Поэтому

$$A_1B_1=\frac12\,AB,\qquad B_1C_1=\frac12\,BC.$$

По рисунку получаем прямоугольник $$A_1B_1C_1D_1$$, у которого $$A_1C_1$$ — диагональ, а стороны параллельны сторонам исходного прямоугольника. Его можно построить однозначно: через точки $$A_1$$ и $$C_1$$ проводим прямые, параллельные сторонам прямоугольника $$ABCD$$, и получаем точки $$B_1$$ и $$D_1$$.

Таким образом, образ прямоугольника построен единственным образом.