Упр.742 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. На рисунке 229 точка $$A_1$$ — образ точки $$A$$ при гомотетии с коэффициентом: 1) $$k=3$$; 2) $$k=-2$$. Постройте центр гомотетии.

1) При гомотетии с коэффициентом $$k=3$$ точки $$A$$ и $$A_1$$ лежат на одной прямой с центром гомотетии $$O$$, причём $$O$$ находится между ними, так как коэффициент положительный.

По свойству гомотетии

$$OA_1=3\cdot OA,$$

значит

$$AA_1=OA_1-OA=2\cdot OA,$$

откуда

$$OA=\frac{1}{2}AA_1.$$

Следовательно, центр гомотетии $$O$$ нужно построить на отрезке $$AA_1$$ так, чтобы $$OA:OA_1=1:3$$, то есть точка $$O$$ делит отрезок $$AA_1$$ в отношении $$1:2$$, считая от точки $$A$$.

2) При гомотетии с коэффициентом $$k=-2$$ точки $$A$$ и $$A_1$$ лежат на одной прямой с центром гомотетии $$O$$ по разные стороны от него, так как коэффициент отрицательный.

По свойству гомотетии

$$OA_1=2\cdot OA,$$

а значит

$$AA_1=OA+OA_1=3\cdot OA,$$

откуда

$$OA=\frac{1}{3}AA_1.$$

Следовательно, центр гомотетии $$O$$ нужно построить на прямой $$AA_1$$ между точками $$A$$ и $$A_1$$ так, чтобы $$OA:OA_1=1:2$$, то есть $$O$$ делит отрезок $$AA_1$$ в отношении $$1:2$$.

Ответ

1) $$O \in AA_1$$, $$OA=\frac{1}{2}AA_1$$; точка $$O$$ делит $$AA_1$$ в отношении $$1:2$$ от точки $$A$$.
2) $$O \in AA_1$$, $$OA=\frac{1}{3}AA_1$$; точка $$O$$ делит $$AA_1$$ в отношении $$1:2$$ между $$A$$ и $$A_1$$.