Упр.738 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 738. Начертите параллелограмм ABCD. Точку пересечения его диагоналей обозначьте О. Постройте образ этого параллелограмма при гомотетии с центром О и коэффициентом: 1) k=2; 2) k=-2.

При гомотетии с центром $$O$$ каждая точка переходит в точку, лежащую на той же прямой с центром гомотетии.

Если коэффициент $$k=2$$, то образ точки находится на луче из $$O$$ через данную точку и расстояние до центра увеличивается в 2 раза:

$$OA’=2\cdot OA,\quad OB’=2\cdot OB,\quad OC’=2\cdot OC,\quad OD’=2\cdot OD.$$

Значит, нужно провести лучи $$OA,\,OB,\,OC,\,OD$$ и отложить на них точки $$A’,B’,C’,D’$$ так, чтобы выполнялись равенства выше. Тогда четырёхугольник $$A’B’C’D’$$ — искомый образ параллелограмма.

Если коэффициент $$k=-2$$, то образ точки лежит на противоположной стороне от центра $$O$$, то есть на продолжении соответствующей прямой, а расстояние до центра также увеличивается в 2 раза:

$$OA’=2\cdot OA,\quad OB’=2\cdot OB,\quad OC’=2\cdot OC,\quad OD’=2\cdot OD,$$

но точки $$A’,B’,C’,D’$$ располагаются по другую сторону от $$O$$ относительно точек $$A,B,C,D$$. Поэтому строим точки на прямых $$OA,\,OB,\,OC,\,OD$$ по другую сторону от центра и на расстоянии, в 2 раза большем исходного.

В обоих случаях образ параллелограмма снова является параллелограммом, так как гомотетия сохраняет параллельность прямых.

Ответ

1) При $$k=2$$: точки $$A’,B’,C’,D’$$ лежат на лучах $$OA,OB,OC,OD$$ и удовлетворяют условиям $$OA’=2OA$$, $$OB’=2OB$$, $$OC’=2OC$$, $$OD’=2OD$$.

2) При $$k=-2$$: точки $$A’,B’,C’,D’$$ лежат на прямых $$OA,OB,OC,OD$$ по другую сторону от центра $$O$$ и удовлетворяют условиям $$OA’=2OA$$, $$OB’=2OB$$, $$OC’=2OC$$, $$OD’=2OD$$.