Упр.737 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
1) k=2; 2) k=1/2; 3) k=-1/2.
Обозначим точку пересечения медиан треугольника $$ABC$$ через $$O$$. Эта точка является центром гомотетии.
При гомотетии с центром $$O$$ каждая вершина треугольника переходит в точку на прямой, проходящей через эту вершину и точку $$O$$, причём расстояния от центра изменяются в $$|k|$$ раз.
1) $$k=2$$. Построим точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ на лучах $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ так, чтобы
$$OA’=2\cdot OA,\quad OB’=2\cdot OB,\quad OC’=2\cdot OC.$$
Тогда образ треугольника $$ABC$$ — треугольник $$A’B’C’$$.
2) $$k=\frac{1}{2}$$. Построим точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ на лучах $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ так, чтобы
$$OA’=\frac{1}{2}OA,\quad OB’=\frac{1}{2}OB,\quad OC’=\frac{1}{2}OC.$$
Получаем треугольник $$A’B’C’$$, подобный исходному и вдвое меньший.
3) $$k=-\frac{1}{2}$$. В этом случае образ каждой вершины лежит на прямой, проходящей через $$O$$ и данную вершину, но по другую сторону от центра. Поэтому точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ строим на продолжениях прямых $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ за точку $$O$$ так, чтобы
$$OA’=\frac{1}{2}OA,\quad OB’=\frac{1}{2}OB,\quad OC’=\frac{1}{2}OC.$$
Тогда треугольник $$A’B’C’$$ расположен по другую сторону от точки $$O$$ и является образом треугольника $$ABC$$ при гомотетии с коэффициентом $$-\frac{1}{2}$$.
Ответ
Точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$ — центр гомотетии $$O$$. При $$k=2$$ образ — треугольник, вершины которого лежат на лучах $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ и удалены от $$O$$ в 2 раза больше исходных. При $$k=\frac{1}{2}$$ — на тех же лучах, но в 2 раза ближе к $$O$$. При $$k=-\frac{1}{2}$$ — на продолжениях прямых $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ по другую сторону от $$O$$, на расстоянии в 2 раза меньшем, чем у исходных вершин.
