Упр.736 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

1) в точке B, k=3; 4) в середине стороны АВ, k=1/2;
2) в точке C, k=-1/2; 5) в середине стороны AC, k=-1/3.
3) в точке A, k=1/2;

Подробный ответ

При гомотетии с центром $$O$$ каждая точка $$X$$ переходит в точку $$X’$$ на прямой $$OX$$ так, что

$$OX’ = |k|\cdot OX.$$

Если $$k>0$$, то точки $$X$$ и $$X’$$ лежат по одну сторону от центра гомотетии, если $$k<0$$ — по разные стороны.

1) Центр гомотетии — точка $$B$$, $$k=3$$.

Точка $$B$$ остаётся на месте: $$B’=B$$. Точки $$A’$$ и $$C’$$ лежат на лучах $$BA$$ и $$BC$$ соответственно, причём

$$BA’ = 3\cdot BA,\qquad BC’ = 3\cdot BC.$$

2) Центр гомотетии — точка $$C$$, $$k=-\frac12$$.

Точка $$C$$ остаётся на месте: $$C’=C$$. Точки $$A’$$ и $$B’$$ лежат на прямых $$CA$$ и $$CB$$ по другую сторону от точки $$C$$, причём

$$CA’=\frac12\,CA,\qquad CB’=\frac12\,CB.$$

3) Центр гомотетии — точка $$A$$, $$k=\frac12$$.

Точка $$A$$ остаётся на месте: $$A’=A$$. Точки $$B’$$ и $$C’$$ лежат на лучах $$AB$$ и $$AC$$, причём

$$AB’=\frac12\,AB,\qquad AC’=\frac12\,AC.$$

4) Центр гомотетии — середина стороны $$AB$$, $$k=\frac12$$.

Обозначим центр гомотетии через $$E$$. Тогда $$E$$ — середина отрезка $$AB$$, а точка $$E$$ остаётся на месте. Образы точек $$A$$, $$B$$ и $$C$$ строятся так, чтобы

$$EA’=\frac12\,EA,\qquad EB’=\frac12\,EB,\qquad EC’=\frac12\,EC,$$

причём точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ лежат на лучах $$EA$$, $$EB$$, $$EC$$ соответственно.

5) Центр гомотетии — середина стороны $$AC$$, $$k=-\frac13$$.

Обозначим центр гомотетии через $$F$$. Тогда $$F$$ — середина отрезка $$AC$$, и $$F$$ остаётся на месте. Точки $$A’$$ и $$C’$$ лежат на прямой $$AC$$ по другую сторону от $$F$$, а точка $$B’$$ — на прямой $$FB$$ по другую сторону от центра, причём

$$FA’=\frac13\,FA,\qquad FC’=\frac13\,FC,\qquad FB’=\frac13\,FB.$$

Во всех пунктах образ треугольника строится по указанным правилам гомотетии: сначала отмечают образы вершин, затем соединяют их отрезками.