Упр.732 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 732. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении 25:12, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите радиус вписанной окружности, если площадь треугольника равна 1680 см^2.

Обозначим точку касания вписанной окружности с боковой стороной $$AB$$ через $$E$$, а основание высоты из вершины $$B$$ на основание $$AC$$ — через $$H$$. Тогда $$OE \perp AB$$, $$OH \perp AC$$, а в равнобедренном треугольнике $$AH=HC$$.

По условию $$BE:AE=25:12$$, значит

$$BE=\frac{25}{12}AE.$$

Тогда

$$AB=AE+BE=AE+\frac{25}{12}AE=\frac{37}{12}AE.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. Так как $$AH=AE$$, то

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{\left(\frac{37}{12}AE\right)^2-AE^2}.$$

$$BH=\sqrt{\frac{1369}{144}AE^2-\frac{144}{144}AE^2}=\sqrt{\frac{1225}{144}AE^2}=\frac{35}{12}AE.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$AC=2AH=2AE,$$

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AC \cdot BH=\frac12 \cdot 2AE \cdot \frac{35}{12}AE=\frac{35}{12}AE^2.$$

По условию $$S_{ABC}=1680$$, значит

$$\frac{35}{12}AE^2=1680,$$

$$AE^2=1680\cdot \frac{12}{35}=576,$$

$$AE=24.$$

Тогда

$$BE=\frac{25}{12}\cdot 24=50,$$

$$BH=\frac{35}{12}\cdot 24=70.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$OBE$$. У них $$\angle B$$ — общий, $$\angle E=90^\circ$$ и $$\angle H=90^\circ$$, значит, треугольники подобны.

Из подобия получаем:

$$\frac{OE}{AH}=\frac{BE}{BH}.$$

Подставим найденные значения:

$$\frac{OE}{24}=\frac{50}{70}=\frac57,$$

$$OE=24\cdot \frac57=\frac{120}{7}.$$

Так как $$OE$$ — радиус вписанной окружности, то

Ответ: $$\frac{120}{7}\text{ см}$$.