Упр.730 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 730. Найдите стороны треугольника АВС, если угол A=30°, угол В=45°, а высота, проведённая из вершины С, равна 4 см.

Подробный ответ

Пусть $$CH$$ — высота треугольника, тогда $$CH \perp AB$$ и $$CH=4$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. В нём

$$\sin \angle A=\frac{CH}{AC}, \quad AC=\frac{CH}{\sin \angle A}=\frac{4}{\sin 30^\circ}=\frac{4}{\frac12}=8.$$

Тогда

$$AH=AC\cos \angle A=8\cdot \cos 30^\circ=8\cdot \frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCH$$. Тогда

$$\sin \angle B=\frac{CH}{BC}, \quad BC=\frac{CH}{\sin \angle B}=\frac{4}{\sin 45^\circ}=\frac{4}{\frac{\sqrt2}{2}}=4\sqrt2.$$

Следовательно,

$$BH=BC\cos \angle B=4\sqrt2\cdot \cos 45^\circ=4\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=4.$$

Так как $$AB=AH+BH$$, то

$$AB=4\sqrt3+4.$$