Упр.729 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 729. В равностороннем треугольнике АВС выбрали точку Р так, что угол APB=150°. Докажите, что существует прямоугольный треугольник, стороны которого равны отрезкам PA, PB и PC.

Подробный ответ

Повернём треугольник $$ABC$$ вокруг точки $$A$$ по часовой стрелке на $$60^\circ$$. Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то точка $$B$$ перейдёт в точку $$C$$.

Обозначим образ точки $$P$$ через $$P’$$. Тогда при повороте сохраняются расстояния, значит

$$AP=AP’$$

и угол между лучами $$AP$$ и $$AP’$$ равен $$60^\circ$$, то есть

$$\angle PAP’=60^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle PAP’$$ равносторонний, поэтому

$$PP’=AP.$$

Рассмотрим треугольники $$ABP$$ и $$ACP’$$. При повороте они переходят друг в друга, значит

$$AB=AC,\quad BP=CP’,\quad AP=AP’.$$

Кроме того,

$$\angle AP’ C=\angle APB=150^\circ.$$

Так как $$\angle AP’P=60^\circ$$, то

$$\angle PP’C=\angle AP’C-\angle AP’P=150^\circ-60^\circ=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$PP’C$$ прямоугольный, а его стороны равны отрезкам $$PP’$$, $$P’C$$ и $$PC$$. Но $$PP’=AP$$, а также $$P’C=BP$$ и $$PC=PC$$. Следовательно, существует прямоугольный треугольник, стороны которого равны отрезкам $$PA$$, $$PB$$ и $$PC$$.