Упр.728 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 728. На стороне CD квадрата ABCD отметили точку Е. Биссектриса угла ВАЕ пересекает сторону ВС в точке F. Докажите, что AE=BF+ED.

Рассмотрим поворот вокруг точки $$A$$ против часовой стрелки на $$90^\circ$$. Тогда точка $$D$$ перейдёт в точку $$B$$, а точка $$E$$ — в некоторую точку $$E’$$.

При этом треугольники $$\triangle ADE$$ и $$\triangle ABE’$$ равны, значит,

$$DE=BE’, \qquad AE=AE’.$$

Кроме того, из равенства треугольников получаем

$$\angle E’AB=\angle EAD.$$

Так как $$AF$$ — биссектриса угла $$BAE$$, то

$$\angle BAF=\angle FAE.$$

Следовательно,

$$\angle E’AF=\angle E’AB+\angle BAF=\angle EAD+\angle FAE=\angle FAD.$$

Теперь рассмотрим прямые $$BC$$ и $$AD$$. Они параллельны, а прямая $$AF$$ — секущая, поэтому

$$\angle BFA=\angle DAF$$

как накрест лежащие углы.

Тогда в треугольнике $$AE’F$$ имеем

$$\angle E’FA=\angle DAF=\angle BFA,$$

то есть треугольник $$AE’F$$ равнобедренный, и значит

$$AE’=E’F.$$

Но точка $$E’$$ лежит на продолжении отрезка $$DE$$, поэтому

$$E’F=BE’+BF.$$

С учётом $$BE’=DE$$ и $$AE=AE’$$ получаем

$$AE=AE’=E’F=BE’+BF=DE+BF.$$

Итак,

$$AE=BF+ED.$$

Ответ

$$AE=BF+ED.$$