Упр.727 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 727. Постройте ромб, точкой пересечения диагоналей которого является данная точка, а три вершины принадлежат трём данным попарно непараллельным прямым.

Пусть точка $$O$$ — данная точка пересечения диагоналей ромба. Построим вершины ромба последовательно.

Из точки $$O$$ опустим перпендикуляр $$OE$$ к прямой $$b$$. На луче $$EO$$ отложим отрезок $$OF=OE$$. Тогда точка $$F$$ симметрична точке $$E$$ относительно точки $$O$$.

Через точку $$F$$ проведём прямую, перпендикулярную $$OF$$. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой $$c$$ через $$C$$.

Соединим точки $$C$$ и $$O$$. Через точку $$A$$ проведём прямую $$CO$$ и отметим точку $$A$$ на пересечении этой прямой с прямой $$b$$.

Теперь через точку $$O$$ проведём перпендикуляр к $$AC$$. Обозначим точку пересечения с прямой $$a$$ через $$D$$.

На луче $$DO$$ отложим отрезок $$OB=OD$$. Получим точку $$B$$.

Проверим построение. Так как $$OE \perp b$$ и $$OF=OE$$, то точки $$E$$ и $$F$$ симметричны относительно $$O$$. Следовательно, прямая $$OF$$ задаёт направление одной диагонали ромба. По построению $$FC \perp OF$$, значит $$C$$ лежит на стороне ромба, а прямая $$AC$$ проходит через центр $$O$$ и является диагональю.

Аналогично, из условия $$OB=OD$$ следует, что точка $$O$$ — середина отрезка $$BD$$. Поскольку $$O$$ также лежит на диагонали $$AC$$, то диагонали ромба пересекаются и делятся пополам в точке $$O$$. Кроме того, построенные стороны лежат на данных прямых $$a$$, $$b$$ и $$c$$, как требуется.

Таким образом, ромб $$ABCD$$ построен.