Упр.725 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 725. На стороне ВС равностороннего треугольника АВС отметили точку D. Вне треугольника АВС выбрали точку Е такую, что треугольник DEC — равносторонний (рис. 213). Докажите, что точка С и середины отрезков BE и AD являются вершинами равностороннего треугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим поворот вокруг точки $$C$$ на $$60^\circ$$ по часовой стрелке.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то при этом повороте точка $$A$$ перейдёт в точку $$B$$.

Так как $$\triangle DEC$$ равносторонний, то точка $$D$$ перейдёт в точку $$E$$.

Пусть $$K$$ — середина отрезка $$AD$$, а $$M$$ — середина отрезка $$BE$$. Тогда при повороте точка $$K$$ перейдёт в точку $$M$$, поскольку поворот сохраняет расстояния и переводит отрезок $$AD$$ в отрезок $$BE$$.

Следовательно, $$CK$$ перейдёт в $$CM$$, значит, $$CK=CM$$. Кроме того, угол между лучами $$CK$$ и $$CM$$ равен $$60^\circ$$, то есть $$\angle KCM=60^\circ$$.

Итак, в треугольнике $$KCM$$ две стороны равны и угол между ними равен $$60^\circ$$, значит, $$\triangle KCM$$ равносторонний.

Следовательно, точка $$C$$ и середины отрезков $$BE$$ и $$AD$$ являются вершинами равностороннего треугольника.