Упр.724 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 724. Точка М принадлежит углу ABC и не принадлежит его сторонам. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершиной прямого угла которого является точка М, а две другие вершины принадлежат сторонам BA и BC соответственно.

Подробный ответ

Проведём через точку $$M$$ прямую, перпендикулярную лучу $$BM$$, и обозначим через $$N$$ точку её пересечения со стороной $$BC$$.

На луче $$MB$$ отложим отрезок $$MK$$ так, чтобы $$MK=MN$$.

Через точку $$K$$ проведём прямую, перпендикулярную стороне $$BC$$, и обозначим через $$E$$ точку её пересечения со стороной $$AB$$.

Проведём окружность с центром в точке $$M$$ радиуса $$ME$$. Обозначим через $$F$$ точку её пересечения со стороной $$BC$$.

Тогда $$ME=MF$$, так как обе точки $$E$$ и $$F$$ лежат на окружности с центром $$M$$. Кроме того, по построению $$ME\perp AB$$, а $$MF\perp BC$$. Следовательно, треугольник $$EMF$$ прямоугольный.

Осталось показать, что он равнобедренный. Так как $$MK=MN$$ и $$\angle MKN=\angle MNK=90^\circ$$, то точки $$K$$ и $$N$$ симметричны относительно прямой, проходящей через $$M$$ и перпендикулярной $$BM$$. Из построения также следует, что точка $$E$$ лежит на прямой, перпендикулярной $$BC$$, а точка $$F$$ выбрана на окружности с центром $$M$$ так, что $$MF=ME$$. Значит, треугольник $$EMF$$ является равнобедренным прямоугольным, причём его прямой угол находится в точке $$M$$.

Искомый треугольник построен.