Упр.723 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 723. Постройте отрезок, серединой которого является данная точка, а концы принадлежат данным непараллельным прямым.

Пусть нужно построить отрезок $$AB$$ так, чтобы точка $$O$$ была его серединой, а точки $$A$$ и $$B$$ лежали на данных непараллельных прямых $$a$$ и $$b$$.

Проведём из точки $$O$$ перпендикуляр $$OE$$ к прямой $$b$$. На луче $$EO$$ отложим отрезок $$OF=OE$$. Тогда точка $$F$$ симметрична точке $$E$$ относительно точки $$O$$.

Через точку $$F$$ проведём прямую, параллельную прямой $$b$$. Обозначим через $$A$$ точку её пересечения с прямой $$a$$.

Проведём прямую $$AO$$ и обозначим через $$B$$ точку её пересечения с прямой $$b$$.

Докажем, что $$O$$ — середина отрезка $$AB$$. Так как $$OE \perp b$$ и $$OF=OE$$, то точки $$E$$ и $$F$$ симметричны относительно $$O$$. Следовательно, прямая, проведённая через $$F$$ параллельно $$b$$, является образом прямой $$b$$ при центральной симметрии с центром $$O$$. Поэтому точка $$A$$, лежащая на прямой $$a$$, переходит в точку $$B$$, лежащую на прямой $$b$$, а точка $$O$$ является серединой отрезка $$AB$$.

Итак, искомый отрезок построен.

Ответ

Построение выполнено: искомый отрезок $$AB$$ имеет середину $$O$$, а его концы лежат на прямых $$a$$ и $$b$$.