Упр.722 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 722. Точки А и С принадлежат острому углу, но не лежат на его сторонах. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы точки B и D лежали на сторонах угла.

Подробный ответ

Обозначим стороны данного острого угла через лучи $$l_1$$ и $$l_2$$, а точки $$A$$ и $$C$$ лежат внутри угла.

Построим точку $$E$$ — середину отрезка $$AC$$.

На луче $$OE$$ отложим отрезок $$EF$$ так, чтобы $$EF=OE$$. Тогда точка $$E$$ является серединой отрезка $$OF$$.

Через точку $$F$$ проведём прямую, параллельную одной стороне угла, и обозначим точку её пересечения с другой стороной угла через $$D$$.

Теперь проведём прямую $$DE$$. Точку $$B$$ возьмём как точку пересечения прямой $$DE$$ с первой стороной угла.

Докажем, что $$ABCD$$ — параллелограмм.

Так как $$E$$ — середина отрезка $$AC$$, а также середина отрезка $$OF$$, то в четырёхугольнике $$AOCF$$ диагонали $$AC$$ и $$OF$$ пересекаются и делятся пополам. Следовательно, $$AOCF$$ — параллелограмм, значит $$AF \parallel OC$$ и $$AO \parallel CF$$.

Из построения $$FD \parallel$$ одной стороне угла, а точка $$D$$ лежит на другой стороне угла. Тогда, учитывая параллельность соответствующих сторон, получаем, что прямая $$DE$$ задаёт направление, согласованное с построением, и точка $$B$$ выбрана так, что $$BD \parallel AC$$.

Кроме того, по построению противоположные стороны четырёхугольника $$ABCD$$ параллельны: $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$. Значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Искомый параллелограмм построен.