Упр.721 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 721. Вершины одного параллелограмма лежат на сторонах другого: по одной вершине на каждой стороне. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle AEN$$ и $$\triangle CFM$$.

Так как $$EFMN$$ — параллелограмм, то $$EN = FM$$ и $$EN \parallel FM$$.

Кроме того, в параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$BC \parallel AD$$ и $$AB \parallel CD$$. Поэтому

$$\angle ANE = \angle CFM,$$

$$\angle AEN = \angle CMF.$$

Следовательно, $$\triangle AEN = \triangle CFM$$ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда

$$AE = CM.$$

Теперь рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$. Его диагонали пересекаются в точке $$O$$, значит, $$O$$ — центр симметрии параллелограмма. При центральной симметрии относительно точки $$O$$ вершина $$A$$ переходит в $$C$$, а точка $$E$$, лежащая на стороне $$AB$$, переходит в точку $$M$$, лежащую на стороне $$CD$$. Поэтому точка $$O$$ является серединой отрезка $$EM$$.

Аналогично, в параллелограмме $$EFMN$$ диагонали $$EM$$ и $$FN$$ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Значит, та же точка $$O$$ является и точкой пересечения диагоналей этого параллелограмма.

Следовательно, точки пересечения диагоналей данных параллелограммов совпадают.