Упр.719 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 719. Пусть вершина A равностороннего треугольника АВС является центром поворота на угол 120°. Найдите отрезок BC1, где точка C1 — образ точки С при данном повороте, если АВ=1 см. Сколько решений имеет задача?

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний и $$AB=1$$ см, то

$$AB=BC=AC=1,\qquad \angle A=60^\circ.$$

При повороте с центром в точке $$A$$ и углом $$120^\circ$$ точка $$C$$ переходит в точку $$C_1$$, причём $$AC_1=AC=1$$.

Возможны два направления поворота.

1) Поворот по часовой стрелке. Тогда луч $$AC_1$$ получается из луча $$AC$$ поворотом на $$120^\circ$$, и угол между лучами $$AB$$ и $$AC_1$$ равен

$$\angle BAC_1=\angle BAC+\angle CAC_1=60^\circ+120^\circ=180^\circ.$$

Значит, точки $$B, A, C_1$$ лежат на одной прямой, а так как $$AB=AC_1=1$$, то

$$BC_1=AB+AC_1=1+1=2\text{ см}.$$

2) Поворот против часовой стрелки. Тогда

$$\angle BAC_1=\angle CAC_1-\angle BAC=120^\circ-60^\circ=60^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABC_1$$ равносторонний, поэтому

$$BC_1=AB=1\text{ см}.$$

Итак, задача имеет два решения.