Упр.718 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ симметричны относительно точки $$O$$ (рис. 212). Прямая, проходящая через центр симметрии, пересекает первую окружность в точках $$A_1$$ и $$N_1$$, а вторую — в точках $$A_2$$ и $$B_2$$. Докажите, что $$A_1B_1=A_2B_2$$.

Подробный ответ

Рассмотрим окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$. Так как они симметричны относительно точки $$O$$, то при центральной симметрии относительно $$O$$ первая окружность переходит во вторую, а любая прямая, проходящая через $$O$$, переходит в себя.

Пусть точки $$A_1$$ и $$B_1$$ на первой окружности переходят в точки $$A_2$$ и $$B_2$$ на второй окружности соответственно. Тогда центральная симметрия сохраняет расстояния, значит

$$A_1B_1=A_2B_2.$$

Что и требовалось доказать.