Упр.717 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если четырёхугольник имеет центр симметрии, то он является параллелограммом.

При центральной симметрии относительно точки $$O$$ каждая точка переходит в точку, лежащую на той же прямой через $$O$$, причём $$O$$ является серединой отрезка, соединяющего эти точки. Поэтому сторона $$AB$$ переходит в сторону $$CD$$.

Центральная симметрия сохраняет длины и переводит прямые в параллельные прямые. Значит,

$$AB = CD, \qquad AB \parallel CD.$$

Аналогично сторона $$BC$$ переходит в сторону $$AD$$, поэтому

$$BC = AD, \qquad BC \parallel AD.$$

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон попарно параллельны. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

Если четырёхугольник имеет центр симметрии, то он является параллелограммом.