Упр.715 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 715. Докажите, что треугольник не имеет центра симметрии.

Предположим, что у треугольника есть центр симметрии $$O$$. Тогда при центральной симметрии каждая вершина треугольника переходит в другую точку фигуры, а отрезки, соединяющие соответствующие точки, проходят через центр $$O$$.

Рассмотрим вершину $$A$$. Если $$A \to C$$, то центр симметрии должен лежать на отрезке $$AC$$. Но тогда вершина $$B$$ должна перейти в некоторую точку $$B_1$$, причём $$B_1 \ne A$$ и $$B_1 \ne C$$. Получается, что образ треугольника не совпадает с самим треугольником.

Если же $$A \to A$$, то точка $$A$$ должна быть центром симметрии. Тогда вершина $$B$$ перейдёт в точку $$B_1 \ne A$$ и $$B_1 \ne C$$, а вершина $$C$$ — в точку $$C_1 \ne A$$ и $$C_1 \ne B$$. И снова образ треугольника не совпадает с исходным треугольником.

Вообще при центральной симметрии у каждой точки есть единственная симметричная ей точка, и для треугольника это невозможно: три вершины не могут попарно перейти друг в друга так, чтобы фигура осталась треугольником. Значит, у треугольника центра симметрии нет.

Ответ

Треугольник не имеет центра симметрии.