Упр.710 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 710. Точки A(x; -2) и В(1; у) симметричны относительно: 1) начала координат; 2) точки М(-1; 3). Найдите х и у.

Подробный ответ

При центральной симметрии относительно точки $$O(0;0)$$ координаты точек меняются по правилу:

$$ (x;y)\to(-x;-y). $$

Значит, для точек $$A(x;-2)$$ и $$B(1;y)$$ получаем:

$$A(-1; -y), \quad B(-x; 2).$$

Так как точки симметричны относительно начала координат, то их координаты должны совпадать попарно:

$$x=-1,\qquad y=2.$$

Теперь рассмотрим симметрию относительно точки $$M(-1;3)$$. Для центральной симметрии относительно точки $$M(a;b)$$ образ точки $$P(x;y)$$ имеет координаты

$$P'(2a-x;\,2b-y).$$

Тогда для точки $$A(x;-2)$$:

$$A’ \bigl(2\cdot(-1)-x;\,2\cdot 3-(-2)\bigr)=(-2-x;\,8).$$

Но образом точки $$A$$ является точка $$B(1;y)$$, значит:

$$1=-2-x,\qquad y=8.$$

Отсюда

$$x=-3,\qquad y=8.$$