Упр.71 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 71. Докажите, что m_c=(1/2)v(2a^2+2b^2-c^2), где а, b и с — стороны треугольника, m_c — медиана треугольника, проведённая к стороне c.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, где $$BC=a$$, $$AC=b$$, $$AB=c$$, а $$CM=m_c$$ — медиана к стороне $$AB$$. Тогда точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, значит

$$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{c}{2}.$$

По теореме косинусов для треугольника $$ABC$$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos\angle A,$$

то есть

$$a^2=c^2+b^2-2cb\cos\angle A.$$

Отсюда

$$\cos\angle A=\frac{c^2+b^2-a^2}{2cb}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACM$$. По теореме косинусов:

$$CM^2=AC^2+AM^2-2\cdot AC\cdot AM\cos\angle A.$$

Подставим найденные значения:

$$m_c^2=b^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2-2\cdot b\cdot \frac{c}{2}\cdot \frac{c^2+b^2-a^2}{2cb}.$$

Упростим:

$$m_c^2=b^2+\frac{c^2}{4}-\frac{c^2+b^2-a^2}{2}$$

$$m_c^2=\frac{4b^2+c^2-2c^2-2b^2+2a^2}{4}$$

$$m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}.$$

Следовательно,

$$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}.$$