Упр.707 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 707. Точки A1 и B1 являются образами соответственно точек А и В при симметрии относительно точки, не принадлежащей прямой АВ. Докажите, что четырёхугольник ABA1 B1 — параллелограмм.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр симметрии. Тогда точка $$A_1$$ является образом точки $$A$$, а точка $$B_1$$ — образом точки $$B$$ при центральной симметрии относительно $$O$$.

По определению центральной симметрии точки $$A, O, A_1$$ лежат на одной прямой и $$AO=OA_1$$, а точки $$B, O, B_1$$ лежат на одной прямой и $$BO=OB_1$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABA_1B_1$$. Диагонали этого четырёхугольника — отрезки $$AA_1$$ и $$BB_1$$. Точка $$O$$ является серединой каждого из них, так как $$AO=OA_1$$ и $$BO=OB_1$$.

Следовательно, диагонали четырёхугольника $$ABA_1B_1$$ пересекаются и делятся пополам. По признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Значит, $$ABA_1B_1$$ — параллелограмм.