Упр.701 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

На рисунке 205 изображены два равных отрезка $$AB$$ и $$BC$$ такие, что $$\angle ABC=60^\circ$$. Найдите точку $$O$$ такую, что отрезок $$AB$$ — это образ отрезка $$BC$$ при повороте вокруг точки $$O$$ против часовой стрелки на угол $$120^\circ$$.

Подробный ответ

При повороте на $$120^\circ$$ против часовой стрелки отрезок $$BC$$ переходит в отрезок $$AB$$. Значит, точка $$B$$ переходит в точку $$A$$, а точка $$C$$ — в точку $$B$$.

Следовательно, центр поворота $$O$$ должен быть равноудалён от соответствующих точек:

$$OA=OB,\qquad OB=OC.$$

Значит, точка $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$ и на серединном перпендикуляре к отрезку $$BC$$. Искомая точка $$O$$ — это точка пересечения этих серединных перпендикуляров.

Кроме того, так как $$AB=BC$$ и $$\angle ABC=60^\circ$$, то треугольник $$ABC$$ равносторонний. В равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, которая является центром поворота на $$120^\circ$$.

Следовательно, точка $$O$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $$AB$$ и $$BC$$.