Упр.701 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 701. На рисунке 205 изображены два равных отрезка АВ и ВС такие, что угол ABC=60°. Найдите точку О такую, что отрезок АВ — это образ отрезка ВС при повороте вокруг точки О против часовой стрелки на угол 120°.

Подробный ответ

При повороте на $$120^\circ$$ против часовой стрелки отрезок $$BC$$ переходит в отрезок $$AB$$. Значит, точка $$B$$ переходит в точку $$A$$, а точка $$C$$ — в точку $$B$$.

Следовательно, центр поворота $$O$$ должен быть равноудалён от соответствующих точек:

$$OA=OB,\qquad OB=OC.$$

Значит, точка $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$ и на серединном перпендикуляре к отрезку $$BC$$. Искомая точка $$O$$ — это точка пересечения этих серединных перпендикуляров.

Кроме того, так как $$AB=BC$$ и $$\angle ABC=60^\circ$$, то треугольник $$ABC$$ равносторонний. В равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, которая является центром поворота на $$120^\circ$$.

Следовательно, точка $$O$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $$AB$$ и $$BC$$.