Упр.70 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 70. В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, угол АВС=120°. На продолжении отрезка АВ за точку В отметили точку D так, что BD=2АВ. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cos\angle ABC.$$

Так как $$AB=BC$$ и $$\angle ABC=120^\circ,$$ то

$$ AC^2=AB^2+AB^2-2AB\cdot AB\cdot \cos 120^\circ =2AB^2-2AB^2\cdot\left(-\frac12\right)=3AB^2. $$

Теперь найдём угол $$CBD$$. Точка $$D$$ лежит на продолжении отрезка $$AB$$ за точку $$B,$$ значит

$$\angle CBD=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$BDC$$. По теореме косинусов:

$$CD^2=BC^2+BD^2-2BC\cdot BD\cos\angle CBD.$$

Подставим данные $$BC=AB,$$ $$BD=2AB,$$ $$\angle CBD=60^\circ$$:

$$ CD^2=AB^2+(2AB)^2-2\cdot AB\cdot 2AB\cdot \cos 60^\circ =AB^2+4AB^2-4AB^2\cdot \frac12=3AB^2. $$

Получаем: