Упр.693 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 693. Точки С и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ (рис. 184). На прямой АВ найдите такую точку X, чтобы угол AXC=(1/2)угол DXB.

Пусть $$E$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$C$$ на прямую $$AB$$. Тогда $$CE \perp AB$$.

На продолжении перпендикуляра за точку $$E$$ отложим отрезок $$EC’ = CE$$. Получим точку $$C’$$, симметричную точке $$C$$ относительно прямой $$AB$$.

Возьмём точку $$F$$ на отрезке $$C’D$$ так, чтобы $$C’F = DF$$. Тогда $$F$$ — середина отрезка $$C’D$$.

Проведём окружность с центром в точке $$F$$ радиуса $$DF$$ и окружность с центром в точке $$C’$$ радиуса $$C’E$$. Обозначим через $$H$$ точку их пересечения.

Точку $$X$$ ищем как точку пересечения прямой $$DH$$ с прямой $$AB$$.

Обоснование построения:

Так как $$C’$$ — отражение точки $$C$$ относительно $$AB$$, то для любой точки $$X \in AB$$ выполняется $$\angle AXC = \angle C’XB$$. Кроме того, из построения точки $$H$$ получаем равенства $$HC’ = C’E = CE$$ и $$HF = DF$$, а значит, точка $$H$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$C’D$$. Следовательно, прямая $$DH$$ задаёт нужное направление, и точка пересечения $$X = DH \cap AB$$ удовлетворяет условию

$$\angle AXC = \frac{1}{2}\angle DXB.$$

Искомая точка построена.