Упр.691 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $$a$$. Найдите на прямой $$a$$ такую точку $$X$$, чтобы сумма $$AX+XB$$ была наименьшей.

Подробный ответ

Отразим точку $$A$$ относительно прямой $$a$$. Для этого из точки $$A$$ опустим перпендикуляр $$AE$$ на прямую $$a$$ и на его продолжении отложим отрезок $$EA’ = AE$$. Тогда прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AA’$$, значит, для любой точки $$X \in a$$ выполняется равенство $$AX = A’X$$.

Следовательно,

$$AX + XB = A’X + XB.$$

Сумма $$A’X + XB$$ наименьшая тогда, когда точки $$A’$$, $$X$$ и $$B$$ лежат на одной прямой, то есть когда $$X$$ — точка пересечения прямой $$A’B$$ с прямой $$a$$.

Итак, искомая точка $$X$$ — это пересечение прямой $$a$$ с прямой, соединяющей точку $$B$$ и отражение точки $$A$$ относительно прямой $$a$$.

Ответ

Нужно отразить точку $$A$$ относительно прямой $$a$$ и соединить полученную точку $$A’$$ с точкой $$B$$. Искомая точка $$X$$ — пересечение прямой $$A’B$$ с прямой $$a$$.