Упр.690 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 690. Точки A и В лежат в одной полуплоскости относительно прямой а. Найдите на прямой а такую точку X, чтобы лучи ХА и ХВ образовывали с этой прямой равные углы.

Пусть из точки $$A$$ опущен перпендикуляр $$AE$$ на прямую $$a$$. На продолжении этого перпендикуляра за точку $$E$$ отложим отрезок $$EA’$$, равный $$AE$$. Тогда точка $$A’$$ симметрична точке $$A$$ относительно прямой $$a$$.

Проведём прямую $$BA’$$ и обозначим через $$X$$ её точку пересечения с прямой $$a$$.

Докажем, что искомая точка найдена. Так как $$A’$$ — отражение точки $$A$$ относительно прямой $$a$$, то прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AA’$$. Следовательно, для любой точки $$X \in a$$ выполняется $$XA=XA’$$.

Тогда треугольники $$\triangle XAE$$ и $$\triangle XA’E$$ равны по двум катетам: $$AE=EA’$$, $$XE$$ — общий катет, а $$\angle AEX=\angle A’EX=90^\circ$$. Отсюда лучи $$XA$$ и $$XA’$$ образуют с прямой $$a$$ равные углы.

Кроме того, точки $$B, X, A’$$ лежат на одной прямой, значит лучи $$XA$$ и $$XB$$ действительно образуют с прямой $$a$$ равные углы.

Следовательно, точка $$X$$ — это точка пересечения прямой $$a$$ с прямой, соединяющей точку $$B$$ с точкой $$A’$$, симметричной точке $$A$$ относительно прямой $$a$$.

Ответ

Нужно отразить точку $$A$$ относительно прямой $$a$$, получить точку $$A’$$ и провести прямую $$BA’$$. Искомая точка $$X$$ — это $$X=BA’ \cap a$$.