Упр.69 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 69. Две стороны треугольника равны 12 см и 14 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — 7 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.
Обозначим неизвестную сторону через $$AC=x$$. Так как $$BM$$ — медиана, то $$AM=CM=\frac{x}{2}$$.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$ и применим теорему косинусов к стороне $$BC$$:
$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A $$
Подставим данные:
$$ 14^2=12^2+x^2-2\cdot 12\cdot x\cdot \cos \angle A $$
$$ 196=144+x^2-24x\cos \angle A $$
$$ 24x\cos \angle A=x^2-52 $$
$$ \cos \angle A=\frac{x^2-52}{24x} $$
Теперь рассмотрим треугольник $$ABM$$. По теореме косинусов:
$$ BM^2=AB^2+AM^2-2\cdot AB\cdot AM\cdot \cos \angle A $$
Подставим значения $$BM=7$$, $$AB=12$$, $$AM=\frac{x}{2}$$:
$$ 49=144+\frac{x^2}{4}-2\cdot 12\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x^2-52}{24x} $$
Упростим:
$$ 49=144+\frac{x^2}{4}-\frac{x^2-52}{2} $$
$$ 49=144+\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{2}+26 $$
$$ 49=170-\frac{x^2}{4} $$
$$ \frac{x^2}{4}=121 $$
$$ x^2=484 $$
$$ x=22 $$
Так как длина стороны положительна, получаем $$AC=22$$ см.
Ответ
$$22\text{ см}$$
