Упр.689 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$a$$. На прямой $$a$$ найдите такую точку $$X$$, чтобы прямая $$a$$ содержала биссектрису угла $$AXB$$.

Подробный ответ

Из точки $$B$$ опустим перпендикуляр $$BE$$ на прямую $$a$$.

На продолжении перпендикуляра отложим отрезок $$EB’$$ так, чтобы $$EB’=BE$$. Тогда точка $$E$$ будет серединой отрезка $$BB’$$, а прямая $$a$$ — серединным перпендикуляром к отрезку $$BB’$$.

Теперь рассмотрим точку пересечения прямых $$AB’$$ и $$a$$. Обозначим её через $$X$$.

Так как $$X \in a$$, то $$XB=XB’$$, поскольку точка $$X$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$BB’$$.

Кроме того, точки $$A$$, $$X$$ и $$B’$$ лежат на одной прямой. Значит, луч $$XA$$ является биссектрисой угла $$BXB’$$, а так как лучи $$XB$$ и $$XB’$$ симметричны относительно прямой $$a$$, то прямая $$a$$ является биссектрисой угла $$AXB$$.

Следовательно, искомая точка $$X$$ — это точка пересечения прямой $$a$$ с прямой $$AB’$$, где $$B’$$ получена отражением точки $$B$$ относительно прямой $$a$$.