Упр.686 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 686. Точка M принадлежит прямому углу АВС (рис. 183). Точки M1 и M2 — образы точки М при симметрии относительно прямых ВА и ВС соответственно. Докажите, что точки M1, B, M2 лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Рассмотрим отражение относительно прямой $$BA$$. Точка $$B$$ при этом переходит в себя, а точка $$M$$ — в точку $$M_1$$. Поэтому луч $$BM$$ переходит в луч $$BM_1$$, и

$$\angle MBA=\angle M_1BA.$$

Аналогично, при отражении относительно прямой $$BC$$ точка $$M$$ переходит в точку $$M_2$$, значит

$$\angle MBC=\angle M_2BC.$$

Так как $$\angle ABC=90^\circ$$, то

$$\angle ABC=\angle ABM+\angle MBC=90^\circ.$$

Теперь найдём угол $$\angle M_1BM_2$$:

$$ \angle M_1BM_2=\angle M_1BA+\angle ABC+\angle CBM_2. $$

Подставим равные углы:

$$ \angle M_1BM_2=\angle MBA+\angle ABC+\angle MBC. $$

Но $$\angle MBA+\angle MBC=\angle ABC=90^\circ$$, значит

$$ \angle M_1BM_2=90^\circ+90^\circ=180^\circ. $$

Следовательно, точки $$M_1$$, $$B$$ и $$M_2$$ лежат на одной прямой.