Упр.685 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 685. Окружности с центрами O1 и O2, пересекаются в точках А и В. Докажите, что точки A и В симметричны относительно прямой O1 O2.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$\triangle O_1AO_2$$ и $$\triangle O_1BO_2$$.

Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности с центром $$O_1$$, то $$O_1A=O_1B$$. Аналогично, поскольку $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности с центром $$O_2$$, имеем $$O_2A=O_2B$$. Кроме того, $$O_1O_2$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle O_1AO_2 \cong \triangle O_1BO_2$$ по трём сторонам. Отсюда

$$\angle AO_1O_2=\angle BO_1O_2.$$

2) Рассмотрим треугольник $$AO_1B$$. Из равенства $$O_1A=O_1B$$ следует, что он равнобедренный. Пусть $$H$$ — точка пересечения прямой $$O_1O_2$$ с отрезком $$AB$$. Тогда из равенства углов при вершине $$O_1$$ получаем, что прямая $$O_1H$$ является биссектрисой угла $$\angle AO_1B$$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, является также медианой и высотой.

Значит, $$O_1H \perp AB$$ и $$AH=HB$$.

Итак, прямая $$O_1O_2$$ проходит через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярна ему, то есть является серединным перпендикуляром к $$AB$$. Следовательно, точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$O_1O_2$$.