Упр.684 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 684. Докажите, что если четырёхугольник имеет четыре оси симметрии, то он является квадратом.

Пусть четырёхугольник $$ABCD$$ имеет четыре оси симметрии.

Так как у четырёхугольника четыре вершины, то при отражении относительно оси симметрии вершины попарно переходят друг в друга. Значит, каждая ось симметрии либо соединяет середины противоположных сторон, либо является серединным перпендикуляром к паре противоположных сторон.

Рассмотрим две оси симметрии. Тогда одна из них переводит $$A$$ в $$D$$, а другая — $$A$$ в $$C$$. Следовательно, стороны $$AB$$ и $$CD$$ симметричны относительно одной оси, а стороны $$BC$$ и $$AD$$ — относительно другой.

Из симметрии получаем:

$$AB \parallel CD,\qquad BC \parallel AD,$$

то есть четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм.

Теперь используем ещё одну ось симметрии. В параллелограмме ось симметрии может быть только серединным перпендикуляром к стороне или диагональю, а наличие четырёх осей симметрии возможно лишь тогда, когда все стороны равны и все углы прямые.

Действительно, из симметрии относительно оси, проходящей через вершину $$A$$, следует:

$$AB=AD.$$

Но в параллелограмме равенство соседних сторон означает, что это ромб. Кроме того, ось симметрии, переводящая одну сторону в другую, даёт перпендикулярность соседних сторон:

$$AB \perp BC.$$

Следовательно, ромб имеет прямой угол, а значит, это квадрат.

Итак, четырёхугольник с четырьмя осями симметрии является квадратом.

Ответ

Если четырёхугольник имеет четыре оси симметрии, то он является квадратом.