Упр.683 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 683. Докажите, что если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, то он является или прямоугольником, или ромбом.

Подробный ответ

Пусть параллелограмм $$ABCD$$ имеет ровно две оси симметрии.

Так как у параллелограмма число вершин чётное, ось симметрии может либо переводить вершину $$B$$ в $$C$$ и $$D$$ в $$A$$, либо вершину $$B$$ в $$A$$ и $$D$$ в $$C$$.

Рассмотрим два возможных случая.

1) Ось симметрии переводит $$B \to C$$, $$D \to A$$. Тогда она переводит сторону $$AB$$ в сторону $$CD$$, значит, $$AB \parallel CD$$ и $$AB = CD$$. Кроме того, ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезкам $$BC$$ и $$AD$$, поэтому $$BC \perp a$$ и $$AD \perp a$$. Следовательно, $$BC \parallel AD$$ и $$AB \perp BC$$. Значит, $$ABCD$$ — прямоугольник.

2) Ось симметрии переводит $$B \to D$$, $$A \to A$$. Тогда сторона $$AB$$ переходит в сторону $$AD$$, откуда $$AB = AD$$. В параллелограмме равенство двух смежных сторон означает, что все его стороны равны. Следовательно, $$ABCD$$ — ромб.

Итак, если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, то он является либо прямоугольником, либо ромбом.