Упр.682 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 682. Докажите, что треугольник, имеющий две оси симметрии, является равносторонним. Может ли треугольник иметь ровно две оси симметрии?

Подробный ответ

Пусть у треугольника есть две оси симметрии. Тогда при отражении относительно каждой из них вершины треугольника переходят друг в друга.

У треугольника число вершин нечётное, значит одна из вершин должна переходить сама в себя при обеих симметриях. Обозначим её через $$B$$, а две другие вершины — $$A$$ и $$C$$.

Тогда одна ось симметрии переводит $$A$$ в $$C$$, а другая — также $$A$$ в $$C$$, поэтому получаем

$$AB=BC,$$

и одновременно

$$AB=AC.$$

Следовательно,

$$AB=BC=AC,$$

то есть треугольник $$ABC$$ равносторонний.

Теперь выясним, может ли треугольник иметь ровно две оси симметрии. У равностороннего треугольника каждая медиана, высота и биссектриса является осью симметрии, значит осей симметрии у него три. У неравностороннего треугольника ось симметрии, если она есть, только одна.

Значит, треугольник не может иметь ровно две оси симметрии.