Упр.68 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Основание равнобедренного треугольника равно $$4\sqrt{2}$$ см, а медиана, проведённая к боковой стороне, — 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Подробный ответ

Обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника через $$AB$$. Тогда $$AB=BC$$, а основание $$AC=4\sqrt{2}$$ см. Пусть $$M$$ — середина стороны $$BC$$, тогда $$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$ и применим теорему косинусов к стороне $$AC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$$

Так как $$AB=BC$$, получаем:

$$(4\sqrt{2})^2=AB^2+AB^2-2AB^2\cos \angle B$$

$$32=2AB^2-2AB^2\cos \angle B$$

$$16=AB^2-AB^2\cos \angle B$$

$$\cos \angle B=1-\frac{16}{AB^2}$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABM$$. По теореме косинусов:

$$AM^2=AB^2+BM^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos \angle B$$

Подставим $$AM=5$$ и $$BM=\frac{1}{2}AB$$:

$$25=AB^2+\left(\frac{1}{2}AB\right)^2-2\cdot AB\cdot \frac{1}{2}AB\cdot \left(1-\frac{16}{AB^2}\right)$$

$$25=AB^2+\frac{1}{4}AB^2-AB^2\left(1-\frac{16}{AB^2}\right)$$