Упр.677 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 677. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.

Подробный ответ

Сделаем построение: возьмём точки $$E \in OA$$ и $$F \in OB$$ так, чтобы $$OE=OF$$. Проведём через точку $$O$$ прямую $$OC$$ — биссектрису угла $$AOB$$, и пусть $$H=OC\cap EF$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle OEH$$ и $$\triangle OFH$$. Так как $$OC$$ — биссектриса угла $$AOB$$, то $$\angle EOH=\angle FOH$$. Кроме того, $$OE=OF$$ по построению, а сторона $$OH$$ общая.

Следовательно, $$\triangle OEH \cong \triangle OFH$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$EH=FH$$.

Значит, точка $$H$$ — середина отрезка $$EF$$. Поскольку прямая $$OC$$ проходит через середину $$EF$$ и перпендикулярна ему как биссектриса симметричной фигуры, то точки $$E$$ и $$F$$ симметричны относительно прямой $$OC$$.

Итак, прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.